soal dan penyelesaian

Sebuah bola kasti bergerak pada bidang xy. Koordinat x dan y bola tersebut dinyatakan oleh persamaan x = 18t dan ^y = 4t — 5t² dengan xdan y dalam meter serta t dalam sekon. Tuliskan persamaan vektor posisi r dengan menggunakan vektor satuan i dan j.

PENYELESAIAN:

Vektor posisi r dalam ungkapan vektor satuan i dan j dapat dituliskan sebagai

r = xi + yj

karena x = 18t dan y = 4t —5t², maka

r = (18t)i + (4t — 5t²)j meter

contoh soal 1.2

Posisi partikel sebagai fungsi waktu dinyatakan oleh persamaan vektor posisi r(t) = (at² + bt)i + (ct + d)j dengan a, b, c, dan d adalah konstanta yang memiliki dimensi yang sesuai. Tentukanlah vektor perpindahan partikel tersebut antara t = 1 sekon dan t = 2 sekon serta tentukan pula besar perpindahannya.

PENYELESAIAN:

vektor posisi partikel:

r(t) = (at² + bt)i + (ct + d)j

Pada saat t = 1 s, vektor posisi partikel adalah
r₁ = [a( 1)² + b(1)]i + [c(1) + d]j

= (a + b)i + (c + d)j

Pada saat t = 2 s, vektor posisi partikel adalah
r₂ = [a(2)² + b(2)]i + [c(2) + d]j

= (4a + 2b)i + (2c + d)j

Vektor perpindahan partikel:

∆r = r2 — ri

∆r = [(4a + 2b) — (a + b)]i + [(2c + d) — (c + d)]j

∆r = (3a + b)i + cj

Besar perpindahan partikel:

Ar = √(3a + b)2 + c² = √9a² + 6ab + b² + c²

Contoh soal 1.3

Jarum panjang sebuah jam mempunyai panjang 6 cm. Tentukan vektor kecepatan rata-rata ujung jarum tersebut dalam interval waktu 20 menit dari angka 12 ke angka 4. Nyatakan dalam sistem koordinat, di mana sumbu x ke arah angka 3 dan sumbu y ke arah angka 12.

r₁ = 6j cm

r₂ = (6 cos 30° i+ 6 sin 30° j) cm

= (3√3 i + 3 j) cm

Vektor perpindahan:

∆r = r₂ – r₁ = = 3√3 i + (3 – 6) j

= (3 √3 i – 3 j) cm

Kecepatan rata-rata

^Vr= ∆r = (3√3  i – 3 j) cm
∆t         20 menit

= (0,15 √3 i – 0,15 j) cm/menit

Contoh soal 1.4

Tentukan posisi partikel sebagai fungsi waktu jika persamaan kecepatan partikel adalah sebagai berikut.

1.     v = 4ti + 3j

2.     v = 2t + 6t2

3.     c.           v_x = 31^1/2 + 5 ^3/2 dan v_y = sin 5t

Diketahui bahwa pada awal gerakan, partikel berada di pusat koordinat.

PENYELESAIAN:

1.         a. r = v dt = 4ti +3j)dt = 2t²i+ 3tj

1.     s = v dt =  (2t + 6t² ) dt = t ² + 2t³

c.  x = v_x dt =  (3t ^½ + 5t ^3/2)dt = 2t ^3/2 + 2t ^5/2

y = v_y dt =  sin 5t dt = [ -  cos 5t] ^t₀

= – (cos 5t – cos 0)

= – (cos 5t – 1) = – cos 5t +

Contoh soal 1.5

Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = (v_Xi+ v_yj) m/s dengan v_x = 2t m/s dan v_y = (1+ 3t²) m/s. Pada saat awal, partikel berada di titik pusat koordinat (0,0).

1.     Tentukan percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 sekon.

2.     Nyatakan persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu.

3.     Tentukan posisi partikel pada saat t = 2 sekon.

Tentukan besar dan arah percepatan dan kecepatan pada saat t = 2 sekon.

PENYELESAIAN:

1.     v = [2ti + (1 + 3t²)j] m/s

t₁ = 0     V₁ = 2(0)i + [1 + 3(0)²]         j = 1 j m/s

t₂ = 2 s      v₂ = 2(2)i + [1 + 3(2)²]j =  (4i + 13j) m/s

∆V = V₂ — v₁ = 4i + (13 – 1)j = (4i + 12j) m/s

∆t =t₂—t₁=2-0=2s

a_r = ∆V           ^{4i + 12j} = (2i + 6j) m/s ²

∆t          2

1.     Persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu

a(t) =  =  [2ti + (1 + 3t²)j]

= (2i + 6tj) m/s ²

c. r = v dt =  [2t1 + (1 + 3t²)j] dt

= t²i + (t + t³)j

t = 2 s       r = (2)² I + [(2) + (2)³] j = (4i + 10j) m

d. t = 2 s       a = 2i + 6(2)j = (2i + 12j) m/s²

a= |a| =  =  = 12,6 m/s²

tan α =  =  = 6

α = 80,54°

v = 2(2)i + [1+3(2)²]j = (4i + 13j) m/s

v = |v| =  =  = 13,6 m/s

tan α =  =  = 3,25

α = 72,90°

contoh soal 1.6

Meisya berlari sejauh 60 m ke arah selatan, kemudian berbelok ke timur sejauh 25 m, dan akhirnya ke tenggara sejauh 10 m. Hitung besar dan arah perpindahan Meisya.

PENYELESAIAN:

x Komponen x:

s_1x = S₁ Cos Ѳ ₁ = (60 m) [cos (-90⁰)] = 0

S_2x = S₂ cos Ѳ ₂ = (25 m)(cos 0°) = 25 m

S_3x = S₃ COSѲ ₃ =(10 m) [cos (-45°)] = 7,07 m

S_x = S_1x + S_2x + S_3x

= 0 + 25 m + 7,07 m = 32,07 m

s_x = s_1x + s_2x + s_3x

= 0 + 25m + 7,07m

= 32,07m

Komponen y

S _1y = s₁ sin Ѳ₁ = (60m) [cos (-90°)] = -60m

S _2y = s₂ sin Ѳ₂ = (25m) (sin 0°) = 0

S_3y = s₃ sin Ѳ₃ = (10m) [cos (-45°)] = -7,07 m

s_y = S _1y + S _2y + S _3y

= -60m + 0 + (-7,07m)

= -67,07 m

Besar perpindahan dapat kita hitung dengan rumus phytagoras

S =  =

S = 74,34m

Arah perpindahan dapat kita hitung dengan rumus trigonometri

α = arc tan  = arc tan  = arc tan (-2,09)

α = -64,43°

contoh soal 1.7

Seorang tentara berenang menyeberangi sungai yang lebarnya 500 m dengan kecepatan 3 km/jam tegak lurus terhadap arah arus air. Kecepatan arus air sungai sama dengan 4 km/jam.

(a)     Tentukan resultan kecepatan tentara tersebut.

(b)   Berapa jauh tentara tersebut menyimpang dari tujuan semula?

PFNYELESAIAN:

Resultan kecepatan tentara akibat pengaruh arus sungai dihitung berdasarkan rumus Pythagoras, karena arahnya saling tegak lurus.

v =  =

= 5 km/jam

Menurut rumus geometri untuk perpindahan dan kecepatan, diperoleh:

Arah perpindahan, tan α =

Arah kecepatan, tan α =

Maka,  =

x =  =

x = 666,67m

(Tentara tersebut menyimpang 666,67 m dari titik tepat di depannya di seberang sungai saat is mulai berenang.)

Contoh soal 1.8

Kompas pesawat terbang menunjukkan bahwa pesawat bergerak ke utara dar indikator kelajuan menunjukkan bahwa pesawat sedang bergerak dengan kelajuan 240 km/jam. Jika ada angin berhembus dengan kelajuan 100 km/jam dari barat ke timur, berapakah kecepatan pesawat terbang relatif terhadap Bumi?

PENYELESAIAN:

Kecepatan pesawat relative terhadap arah angin

v_pa = 240 km/jam ke utara

kecepatan angin relative terhadap bumi

v_ab = 100 km/jam ke timur

kecepatan pesawat relative terhadap bumi

v_pb = v_pa + v_ab

besar kecepatan

v_pb =  =

= 260 °

Arah kecepatan

α= arc tan  = arc tan

= 22,6°

(Arah kecepatan pesawat relatif terhadap Bumi adalah 22,6° search jarum jam dari utara.)

Contoh soal 1.9

Dalam suatu perlombaan, seorang pemanah melepas anak panah dari busurnya dengan kecepatan 30 m/s.

a)         Berapakah jarak jangkauan maksimum?

b)         Tentukan dua sudut elevasi di mana anak panah mencapai target yang jaraknya 70 m.

PENYELESAIAN:

1.     Jarak jangkauan dapat dihitung dengan persamaan (1-35)

R =

Untuk jarak jangkauan maksimum, berarti sin 2α = 1, maka:

R_maks =  =  = 91,84 m

1.     Kita masih menggunakan persamaan (1-35) untuk mencari dua sudut elevasi yang memberikan jarah jangkauan sama

R =

Sin 2α =  =  = 0,762

2α = arc sin 0,762

2α = 49,66° atau 130,34°

α ₁ = 24,83° atau 65,17°

Contoh soal 1.10

Sebuah bola dilempar dengan kelajuan 20 m/s pada sudut elevasi 60°. Bola lepas dari tangan pelempar pada ketinggian 1,8 m. Pada ketinggian berapa bola akan mengenai dinding yang jarak mendatarnya

10 m?

PENYELESAIAN:

Kita awali dengan menyelidiki gerak      60° horizontal.

Komponen horizontal dari kecepatan awal bola, yaitu:

V_0x = v₀ cos α = (20m/s) (cos60°)

=10m/s

Jarak horizontal, x = 10m

X= V_0xt (gerak lurus beraturan)

t =  =  = 1 s

selanjutnya, kita tinjau gerak vertical :

komponen vertical dari kecepatan awal bola yaitu:

V_0y = v₀ sin α = (20m/s)(sin60°) = 17,32 m/s

Ketinggian dimana bola menyentuh dinding

y = y₀ + v_0yt –  gt²

= 1,8m + (17,32 m/s)(1 s) –  (9,8 m/s²)(1s)²

= 14,22 m

Contoh soal 1.11

Seorang pemain akrobat akan meloncat ke bawah dengan menggunakan motornya dari atas gedung bertingkat yang tingginya 35 m. Sejauh 80 m dari gedung tersebut, terdapat sebuah danau. Pemain akrobat tersebut harus mendarat di danau jika tidak ingin terluka parch. Berapakah kecepatan mini­mum sepeda motor pemain akrobat tersebut agar is mendarat di danau?

PENYELESAIAN:

Pada gerak vertical, komponen kecepatan awal sama dengan nol (v_0y = 0)

y = v_0yt – gt²

y = – gt²

kita masukkan angka-angka yang diketahui

-35m = –  (9,8m/s²) t²

-35m = (-4,9m/s²) t²

t² =  =

t =  = 2,67 s

pada gerak horizontal

x = v_0xt = v₀t

v₀ =  =  = 29,96m/s

contoh soal 1.12

Sebuah bola ditendang ke udara sehingga lintasannya berbentuk parabola. Bila kecepatan awal bola 30 m/s dan sudut elevasinya 30°, tentukan:

a)    ketinggian maksimum dan waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian tersebut,

b)    jarak jangkauan dan waktu yang diperlukan untuk mencapai jarak tersebut.

c)    kecepatan setelah bola bergerak 3/4 bagian dari waktu terbangnya. (g = ₁₀ m/s²)

PENYELESAIAN:

a) Ketinggian maksimum,

H =  =

= 11,25 m

Waktu yang diperlukan untuk mencapai H

t_H =  =

1.     Jarak jangkauan

R =  =

= 77,94m

Waktu yang diperlukan untuk mencapai R

t_R = 2t_H = 2 (1,5 s)

= 3 s

1.     Waktu terbang dalam hal ini sama dengan aktu yang digunakan untuk mencapai jarak jangkauan, sehingga:

t = t_H = (3s)

= 2,25 s

Gerak horizontal v_x = v_0x = v₀ cos α = (30 m/s) (cos 30°)

= 25,98 m/s

Gerak vertical v_y = v_0y- gt = v₀ sin α – gt

= (30m/s)(sin30°) – (9,8m/s²)(2,25s)

= -7,05 m/s

Besar kecepatan v=  =

= 26,92 m/s

Arah kecepatan α = arc tan  = arc tan

= – 15,18°

Contoh soal 1.13

Seorang atlet tembak akan menembak sasaran yang berada pada ketinggian yang sama dengan ketinggian senjata di tangannya langsung secara horizontal. Sasaran tersebut berupa lingkaran kecil yang digambar pada sebuah papan. Jarak atlet terhadap sasaran adalah 120 m. Jika kecepatan peluru yang keluar dari senjata 300 m/s, pada jarak berapa di bawah titik sasaran, peluru akan menumbuk papan? (g = 10 m/s2)

Gerak horizontal

x = v_0x

t = v₀t

t =  =  = 0,4 s

nilai t = 0,4 s ini kita masukkan ke persamaan gerak vertical

∆y = v_0yt – ½ gt²

Karena v_0y = 0 maka

∆y = – ½ gt²

∆y = – ½ (10 m/s²)(0,4s)²

∆y = -0,8 m = -80 cm

Contoh soal 1.14

Sebuah roda berputar pada suatu poros yang tetap sehingga suatu titik pada roda memenuhi persamaan e(t) = 3t + 29 dengan 0 dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan posisi sudut titik tersebut untuk (a) t 2 sekon dan (b) t = 5 sekon.

PENYELESAIAN:

Ѳ(t) = (3t + 2t²) rad

1.     t=2s

Ѳ=3(2) + 2(2)² = 14 rad

1.     t=5s

Ѳ=3(5) + 2(5)² = 65 rad

contoh soal 1.15

Posisi sudut titik pada rods dinyatakan oleh 0 = (4 + 2t²) rad dengan tdalam sekon. Tentukanlah:

1.     posisi sudut titik tersebut pada t = 2 s,

2.     kecepatan sudut rata-rata dalam selang waktu t 0 hingga t 2 s,

3.     kecepatan sudut pada saat t = 2 s.

PENYELESAIAN:

1.     posisi sudut

Ѳ = (4 = 2t²) rad

t = 2 s

Ѳ= 4 + 2(2)² = 12 rad

1.     kecepatan sudut rata-rata

t = 0

Ѳ = 4 + 2(0)² = 4 rad

ω_r =  =  =  = 4rad/s

1.     kecepatan sudut sesaat

ω =  =  (4 + 2t²) = 4t rad/s

t = 2s

ω = 4 (2) = 8 rad/s

contoh soal 1.16

Hitunglah posisi sudut suatu titik sebagai fungsi waktu jika persamaan kecepatan sudut titik tersebut adalah co = (2t + 6t²) rad/s dengan tdalam sekon dan pada saat awal posisi sudutnya adalah nol.

PENVELESAIAN:

kecepatan sudut

ω = (2t + 6t²) rad/s

posisi sudut

Ѳ = ωdt =  (2t + 6t²) dt = (t² +2t³) rad

contoh soal 1.17

Sebuah roda gerinda mula-mula dalam keadaan diam, kemudian berotasi dengan percepatan sudut konstan α= 5 rad/s² selama 8 s. Selanjutnya, roda dihentikan dengan perlambatan konstan dalam 10 putaran. Tentukan:

(a)                perlambatan roda,

waktu yang diperlukan sebelum roda berhenti.

1.     gerak dipercepat

ω₁ = α₁t₁ = (5)(8) = 40 rad/s

gerak diperlambat

ω₂² = ω₁² + 2 α₂Ѳ

roda berhenti berarti ω₂ = 0 maka

0 = 40² + 2 α₂ (62,8)

α₂ =  = -12,74 rad/s

1.     Ѳ = ½ α₂t²

t =  =  =

t = 3,14 s